Cara Esther Gama, boa tarde.
Na situação que expõe, não haverá muita coisa a fazer. Acreditamos que possa haver duas razões para o duplo indeferimento:
1. Entre Fevereiro e Junho passam 4 meses, sendo que o prazo limite para requerer o subsídio de desemprego são 90 dias consecutivos (3 meses). Em situações de baixa, o trabalhador doente deve fazer-se representar por alguém junto da Seg. Social para requerer o subsídio de desemprego, mediante apresentação da baixa à Seg. Social e do formulário que o empregador entregou ao trabalhador doente.
2. Qualquer trabalhador despedido que, à data do despedimento, apresente uma situação de trabalho por conta própria (que é o caso de "dar o nome para a abertura de uma empresa", mesmo que não remunerada) não tem direito à atribuição de subsídio de desemprego, uma vez que a Seg. Social assume que este trabalhador estará em condições de, através da sua atividade por conta própria, garantir um sustento.
Poderá solicitar à Seg. Social uma justificação do duplo indeferimento, fazendo uma exposição escrita sobre os motivos porque acredita ter direito ao subsídio de desemprego, mas as regras são claras e estão descritas no site da Seg. Social, sendo esse o motivo porque acreditamos que não haja muito a fazer.
No entanto, para que se sinta segura da informação que aqui lhe damos, e para que haja uma confirmação de que não há, efetivamente, qualquer tipo de recurso aplicável, sugerimos-lhe que consulte um advogado para que possa informar-se sobre os seus direitos nesta situação.